Question

現(xiàn)有變換公式T：

4 5 x+ 3 5 y=x′ 3 5 x- 4 5 y=y′

可把平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)P（x，y）變換到這一平面上的一點(diǎn)P′（x′，y′）．
（1）若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為2

2

，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2．求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F₁^′和F₂^′的坐標(biāo)；
（2）若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合，則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)．求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題a²-b²=2，a²+b²=4，聯(lián)立方程組，求的a和b，則橢圓方程方程可得．根據(jù)橢圓的性質(zhì)可氣的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入變換公式中即可求的點(diǎn)F₁^′和F₂^′的坐標(biāo)．
（2）依題意設(shè)不動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）依題意則有

4

5

m+

3

5

n=m，求的m和n的關(guān)系代入橢圓方程中求的n和m，則不動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)可得．
（3）設(shè)曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)P（x，y）分情況看橢圓和雙曲線時(shí)，先根據(jù)變換公式求的x和y的關(guān)系，代入橢圓或雙曲線方程看方程得解．

解答：解：（1）依題意可知

a2-b2=2 a2+b2=4

解得a²=3，b²=1
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（

2

，0），F(xiàn)₂（-

2

，0）
依題意F₁^′的坐標(biāo)為（

4 2

5

，

3 2

5

），F(xiàn)₂^′（-

4 2

5

，-

3 2

5

）
（2）依題意設(shè)不動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）依題意則有

4

5

m+

3

5

n=m，整理的m=3n，代入橢圓方程得

9n2

3

+n2=1，解得n=

1

2

，m=

3

2

或n=-

1

2

，m=-

3

2

∴不動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，

3

2

）（-

1

2

，-

3

2

）
（3）由（2）可知，曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)P（x，y）需滿足
情形一：據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為

x2

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0），
則有

(3y)2

m

+

y2

n

=1?

9n+m

mn

y2=1．
因?yàn)閙＞0，n＞0，所以y2=

mn

9n+m

＞0恒成立，
因此橢圓在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)必定存在，且一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
情形二：設(shè)雙曲線方程為

x2

m

+

y2

n

=1（mn＜0），
則有

(3y)2

m

+

y2

n

=1?

9n+m

mn

y2=1，因?yàn)閙n＜0，
故當(dāng)9n+m=0時(shí)，方程

9n+m

mn

y2=1無解；
當(dāng)9n+m≠0時(shí)，故要使不動(dòng)點(diǎn)存在，則需y2=

mn

9n+m

＞0，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)

mn＜0 9n+m＜0

時(shí)，雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．否則不存在不動(dòng)點(diǎn)．
進(jìn)一步分類可知，
（i）當(dāng)n＜0，m＞0時(shí)，

m

9n+m

≤-1?9n+m＜0?9＞-

m

n

．
即雙曲線的焦點(diǎn)在
軸上時(shí)，需滿足0＜-

m

n

＜9時(shí)，雙曲線在變換
下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．否則不存在不動(dòng)點(diǎn)．
（ii）當(dāng)n＞0，m＜0時(shí)，?

mn

9n+m

＞0?9n+m＜0?-

m

n

＞9．
即雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，需滿足-

m

n

＞9時(shí)，雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．否則不存在不動(dòng)點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合掌握．