Question

已知數(shù)列{b_n}滿足條件：首項(xiàng)b₁=1，前n項(xiàng)之和B_n=

3n2-n

2

．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的滿足條件：an=（1+

1

bn

） a_n-1，且a₁=2，試比較a_n與

3	bn+1

的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由b_n=B_n-B_n-1=

3n2-n

2

-

3(n-1)2-(n-1)

2

=3n-2，能得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由an=（1+

1

bn

）a_n-1，得

an

an-1

=1+

1

bn

，an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

a2

a1

a1，由a₁=2，bn=3n-2知，an=（1+

1

3n-2

）（1+

1

3n-5

）（1+

1

4

）2=（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

），由此入手，利用數(shù)學(xué)歸納法能夠證明an＞

3	bn+1

．

解答：解：（1）當(dāng)n＞1時(shí)，b_n=B_n-B_n-1
=

3n2-n

2

-

3(n-1)2-(n-1)

2

=3n-2
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+

1

bn

）a_n-1，得

an

an-1

=1+

1

bn

∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

a2

a1

a1
由a₁=2，bn=3n-2知，
an=（1+

1

3n-2

）（1+

1

3n-5

）（1+

1

4

）2
=（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）
又

3	bn+1

=

3	3(n+1)-2

=

3	3n+1

，（5分）
設(shè)c_n=

3	3n+1

，
當(dāng)n=1時(shí)，有（1+1）=

3	8

＞

3	3×1+1

=

3	4

當(dāng)n=2時(shí)，有an=（1+1）（1+

1

4

）=

5

2

=

3	125 8

＞

3	56 8

=

3	3×2+1

=c_n
假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)an＞c_n成立，
即（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）＞

3	3k+1

成立，
則n=k+1時(shí)，
左邊═（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）（1+

1

3(k+1)-2

）
＞

3	3k+1

（1+

1

3(k+1)-2

）=

3	3k+1

3k+2

3k+1

（3分）
右邊=c_k+1=

3	3(k+1)+1

=

3	3k+4

由（ak+1）³-（c_k+1）³=（3k+1）

(3k+2)3

(3k+1)3

-（3k+4）
=

(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2

(3k+1)2

=

9k+4

(3k+1)2

＞0，得ak+1＞c_k+1成立．
綜合上述，an＞c_n對任何正整數(shù)n都成立．（3分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)列遞推公式的合理運(yùn)用，合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．