Question

已知函數(shù)（），．

（Ⅰ）若，曲線在點處的切線與軸垂直，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：；

（Ⅲ）若，試探究函數(shù)與的圖象在其公共點處是否存在公切線，若存在，研究值的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）當時，函數(shù)與的圖象在其公共點處不存在公切線；當時，函數(shù)與的圖象在其公共點處存在公切線，且符合題意的值有且僅有兩個

【解析】(I)當a=1時，根據(jù)建立關(guān)于b的方程，求出b值.

(II)由（I）得，定義域為，要證，

只須證，然后構(gòu)造函數(shù)， 

利用導數(shù)研究其最小值，證明最小值大于零即可.

(III)本小題屬于探索性問題，先假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點處存在公切線，則滿足

，所以,即,從而求出,

然后再討論是否大于零來確定假設(shè)是否成立.

解：（Ⅰ），，

∴，         --------------------------2分

依題意得  ，∴．         --------------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定義域為，

要證，只須證，

設(shè)，           -------------------4分

則，

令，得， ---------------------------6分

列表得

	遞減	極小	遞增

∴時，取極小值也是最小值，且，

∴，∴. --------------------8分

（Ⅲ）假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點處存在公切線，

∵，∴，

∵，，由得，，

即，∴，--------------9分

∵的定義域為，

當時，，∴函數(shù)與的圖象在其公共點處不存在公切線；---10分

當時，令 ，∵，，

∴，即， ----------------11分

下面研究滿足此等式的值的個數(shù)：

（方法一）由得  ，

設(shè)函數(shù)，，

令得，當時，遞增；

當時，遞減；

所以，，又時，，

時，，

所以，函數(shù)的圖象與軸有且僅有兩個交點，即符合題意的值有且僅有兩個．

綜上，當時，函數(shù)與的圖象在其公共點處不存在公切線；

當時，函數(shù)與的圖象在其公共點處存在公切線，

且符合題意的值有且僅有兩個．-------------------------------14分

                                                

(方法二)設(shè)，則，且，方程化為，

分別畫出和的圖象，因為時，，

由函數(shù)圖象性質(zhì)可得和圖象有且只有兩個公共點（且均符合），

所以方程有且只有兩個解．

綜上，當時，函數(shù)與的圖象在其公共點處不存在公切線；

當時，函數(shù)與的圖象在其公共點處存在公切線，

且符合題意的值有且僅有兩個．--------------------------------14分