Question

【題目】如圖，四邊形CDEF是正方形，四邊形ABCD為直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥DC，平面CDEF⊥平面ABCD，AB＝ADCD＝a，M在FB上，且BD∥平面ECM．

（1）求證：M為BF中點；

（2）求證：平面BCF⊥平面EMC；

（3）求直線CD與平面ECM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）．

【解析】

（1）連結，，交于點，則是中點，連結，由平面，得，由此能證明為中點；

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面平面；

（3）求出，，，平面的法向量，1，，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．

（1）證明：連結DF，CE，交于點O，則O是DF中點，連結OM，

∴BD∥平面ECM，OM平面BDF，

∴BD∥OM，∴M為BF中點．

（2）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，

則B（a，a，0），C（0，2a，0），F（0，2a，2a），M（），E（0，0，2a），

（﹣a，a，0），（﹣a，a，2a），（，，﹣a），（0，2a，﹣2a），

設平面BCF的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，1，0），

設平面EMC的法向量（x1，y1，z1），

則，取z1＝1，得（﹣1，1，1），

∵0，∴平面BCF⊥平面EMC．

（3）解：D（0，0，0），（0，﹣2a，0），平面EMC的法向量（﹣1，1，1），

設直線CD與平面ECM所成角為θ，

則直線CD與平面ECM所成角的正弦值為：

sinθ．