Question

5．設函數(shù)f（x）=ax-sinx，x∈[0，π]．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≤1-cosx恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{2}$x-sinx，x∈[0，π]，從而求導f′（x）=$\frac{1}{2}$-cosx，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）化簡可得ax-sinx≤1-cosx，作函數(shù)y=ax-1與函數(shù)y=sinx-cosx的圖象，結合圖象求解即可．

解答 解：（1）當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{2}$x-sinx，x∈[0，π]，
f′（x）=$\frac{1}{2}$-cosx，
故x∈[0，$\frac{π}{3}$）時，f′（x）＜0，x∈（$\frac{π}{3}$，π]時，f′（x）＞0；
故f（x）在[0，$\frac{π}{3}$）上是減函數(shù)，在[$\frac{π}{3}$，π]上是增函數(shù)；
（2）由題意得，
ax-sinx≤1-cosx，
故ax-1≤sinx-cosx，
作函數(shù)y=ax-1與函數(shù)y=sinx-cosx的圖象如圖，
結合圖象可得，
a≤$\frac{1-（-1）}{π-0}$=$\frac{2}{π}$；
故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{2}{π}$]．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及數(shù)形結合的思想應用，屬于中檔題．