Question

在如圖所示的幾何體中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，，且AA₁=AB，D₁E⊥平面D₁AC，AA₁⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求二面角D₁-AC-E的大��；
（Ⅱ）在D₁E上是否存在一點P，使得A₁P∥平面EAC，若存在，求的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)AC交BD于O，建立如圖所示的坐標系，
設(shè)AB=2，則，，D₁（0，1，2）
設(shè)E（0，-1，t），則，，
∵D₁E⊥平面D₁AC，∴，∴-2-2（2-t）=0，∴t=3，∴E（0，-1，3），
∴
設(shè)平面EAC的法向量為=（x，y，z），則，∴
令z=1，可得=（0，3，1），
∵平面FAC的法向量為
∴cos＜＞==
∴二面角D₁-AC-E的平面角為45°；
（Ⅱ）設(shè)=λ=λ（），則=（0，-，）
∴=+=（-，1-，）
∵A₁P∥平面EAC，∴⊥
∴+3×+1×=0
∴λ=
∴存在一點P，使得A₁P∥平面EAC，此時．
分析：（Ⅰ）設(shè)AC交BD于O，建立坐標系，求得E的坐標，求得平面EAC、平面FAC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角D₁-AC-E的大��；
（Ⅱ）利用A₁P∥平面EAC，可得⊥平面EAC的法向量，從而可得結(jié)論．
點評：本題考查面面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．