Question

【題目】設橢圓 + =1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率為 ．已知A是拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，F到拋物線的準線l的距離為 ．
（Ⅰ）求橢圓的方程和拋物線的方程；
（Ⅱ）設l上兩點P，Q關于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于A），直線BQ與x軸相交于點D．若△APD的面積為 ，求直線AP的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：設F的坐標為（﹣c，0）．
依題意可得 ，
解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ．
所以，橢圓的方程為x2+ =1，拋物線的方程為y2=4x．
（Ⅱ）解：直線l的方程為x=﹣1，設直線AP的方程為x=my+1（m≠0），
聯立方程組 ，解得點P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）．
聯立方程組 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ．
∴B（ ， ）．
∴直線BQ的方程為（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0，
令y=0，解得x= ，故D（ ，0）．
∴|AD|=1﹣ = ．
又∵△APD的面積為 ，∴ × = ，
整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ．
∴直線AP的方程為3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0．
【解析】（Ⅰ）根據橢圓和拋物線的定義、性質列方程組求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）設AP方程為x=my+1，聯立方程組得出B，P，Q三點坐標，從而得出直線BQ的方程，解出D點坐標，根據三角形的面積列方程解出m即可得出答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．