Question

已知拋物線過點(diǎn)．

（I）求拋物線的方程；

（II）已知圓心在軸上的圓過點(diǎn)，且圓在點(diǎn)的切線恰是拋物線在點(diǎn)的切線，求圓的方程；

（Ⅲ）如圖，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作一條直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，證明: ．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）；（Ⅲ）見解析。

【解析】

試題分析：（I）

（II）由   得 所以拋物線 在點(diǎn)處切線的斜率為

過點(diǎn)且與切線垂直的直線方程為：，即，令得

圓心，半徑

圓的方程為：

（Ⅲ）設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得    

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、、x₂是方程①的兩根.

所以    ①

由得

即　②

由①、②可得

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.

所以 

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)；圓的簡單性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；直線與拋物線的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評：：研究直線與拋物線的綜合問題，通常的思路是：轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與拋物線方程所組成的方程組消去一個(gè)變量后，將交點(diǎn)問題（包括公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題。