Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax，a∈R．
（1）討論f（x）的極值；
（2）若$\frac{f（x）+ax}{{e}^{x}}$≤ax對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x+1}$-a，（x＞-1），a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-1，$\frac{1}{a}-1$）上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，${f}^{'}（x）=\frac{-a（x+1-\frac{1}{a}）}{x+1}$，當(dāng)-1＜x＜$\frac{1}{a}-1$時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞$\frac{1}{a}-1$時(shí)，f′（x）＜0，由此能求出當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有極大值-lna+a-1，無極小值．
（2）推導(dǎo)出$\frac{ln（x+1）}{{e}^{x}}$≤ax，即ln（x+1）-axe^x≤0，記F（x）=ln（x+1）-axe^x（x≥0），只需F（x）_max≤0，${F}^{'}（x）=\frac{1}{x+1}-a（1+x）{e}^{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及分類討論思想能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax，a∈R，
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x+1}$-a，（x＞-1），
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-1，$\frac{1}{a}-1$）上單調(diào)遞增，無極值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，${f}^{'}（x）=\frac{-a（x+1-\frac{1}{a}）}{x+1}$，
當(dāng)-1＜x＜$\frac{1}{a}-1$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-1，$\frac{1}{a}-1$）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞$\frac{1}{a}-1$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（$\frac{1}{a}-1$，+∞）上單調(diào)遞減．
∴y_極大值=f（$\frac{1}{a}-1$）=-lna+a-1，無極小值．
綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有極大值-lna+a-1，無極小值．
（2）∵$\frac{f（x）+ax}{{e}^{x}}$≤ax對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，∴$\frac{ln（x+1）}{{e}^{x}}$≤ax，
∴l(xiāng)n（x+1）-axe^x≤0，
記F（x）=ln（x+1）-axe^x（x≥0），只需F（x）_max≤0，
∴${F}^{'}（x）=\frac{1}{x+1}-a（1+x）{e}^{x}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，$\frac{1}{x+1}$＞0，a（x+1）e^x≤0，∴F′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（0）=0，不合題意，舍去．
②當(dāng)a＞0時(shí)，${F}^{'}（x）=\frac{1-a（x+1）^{2}{e}^{x}}{x+1}$．
（i）當(dāng)a≥1時(shí)，∵x≥0，∴a（x+1）²e^x≥1，∴${F}^{'}（x）=\frac{1-a（x+1）^{2}{e}^{x}}{x+1}$≤0，
∴F（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)（x）≤F（0）=0，符合題意．
（ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，記g（x）=1-a（x+1）²e^x，（x≥0），
∴g′（x）=-a（x+1）（x+3）e^x＜0，g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
又g（0）=1-a＞0，g（$\sqrt{\frac{1}{a}}$-1）=1-${e}^{\sqrt{\frac{1}{a}-1}}$＜0，
∴存在唯一x₀∈（0，$\sqrt{\frac{1}{a}-1}$），使得g（x₀）=0，
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，g（x）＞g（x₀）=0，
從而${F}^{'}（x）=\frac{1-a（x+1）^{2}{e}^{x}}{x+1}$＞0，即F（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（0）=0，不符合要求，舍去．
綜上，得a≥1．即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用、函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，是中檔題．