Question

13．已知直線l經過拋物線y²=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點．
（1）若|AF|=4，求點A的坐標；
（2）求線段AB的長的最小值．

Answer 1

分析 （1）由y²=4x，得p=2，其準線方程為x=-1，焦點F（1，0）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由拋物線的定義可知，|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$，從而x₁=3．由此能得到點A的坐標．
（2）分類討論，設直線l的方程為y=k（x-1），代入y²=4x整理得x²-6x+1=0，其兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=6．由拋物線的定義可知線段AB的長．

解答 解：由y²=4x，得p=2，其準線方程為x=-1，焦點F（1，0）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）由拋物線的定義可知，|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$，從而x₁=3．
代入y²=4x，解得y₁=$±2\sqrt{3}$．
∴點A的坐標為（3，2$\sqrt{3}$）或（3，-2$\sqrt{3}$）．
（2）斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），代入y²=4x整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
再設B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$．
∴|AB|=x₁+x₂+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$＞4．
斜率不存在時，|AB|=4，
∴線段AB的長的最小值為4．

點評 本題考查了拋物線的定義及其幾何性質，以及直線與拋物線的位置關系．直線與拋物線的位置關系問題，一般是將直線方程代入拋物線方程消元得到關于x的一元二次方程，然后借助于韋達定理解決后續(xù)問題．