Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²+x-a，其中x∈[-1，1]．
（1）若對(duì)于任意x∈R，關(guān)于x的不等式f（x）＜（1-a）x+1-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，求實(shí)數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得ax²+ax-1＜0恒成立，討論a=0和a＜0，判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值為頂點(diǎn)處的函數(shù)值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，求得f（1）和f（-1），可得f（x）的最大值在對(duì)稱軸處取得，解方程可得a，檢驗(yàn)即可得到所求值．

解答 解：（1）關(guān)于x的不等式f（x）＜（1-a）x+1-a恒成立，即為
ax²+ax-1＜0恒成立，
當(dāng)a=0時(shí)，-1＜0顯然成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，判別式△=a²+4a＜0，即-4＜a＜0恒成立．
綜上可得a的范圍是（-4，0]；
（2）函數(shù)f（x）=ax²+x-a，x∈[-1，1]，
由二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值為頂點(diǎn)處的函數(shù)值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，
可得f（1）=a+1-a=1，f（-1）=a-1-a=-1，
由題意可得f（x）的最大值為f（-$\frac{1}{2a}$）=$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$=$\frac{17}{8}$，
解得a=-2或-$\frac{1}{8}$，
當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=-2x²+x+2=-2（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，且$\frac{1}{4}$∈[-1，1]成立；
當(dāng)a=-$\frac{1}{8}$時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+x+$\frac{1}{8}$=-$\frac{1}{8}$（x-4）²+$\frac{17}{8}$，且4∉[-1，1]，故不成立．
綜上可得a=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意討論a的取值，考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論最值的取得的情況是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．