Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，直線與拋物線交于另一點(diǎn).

（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：常數(shù)；

（2）①設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為，試用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

②當(dāng)的內(nèi)切圓的面積為時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.

【解析】

（1）設(shè)過的直線交拋物線于，，聯(lián)立，利用直線的斜率公式和韋達(dá)定理表示出，化簡(jiǎn)即可；

（2）由（1）知點(diǎn)在軸上，故，設(shè)出直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)閮?nèi)心到三角形各邊的距離相等且均為內(nèi)切圓半徑，列出方程組求解即可.

（1）設(shè)過的直線交拋物線于，，

聯(lián)立方程組，得：.

于是，有：

，

又，

；

（2）①由（1）知點(diǎn)在軸上，故，聯(lián)立的直線方程：.

，又點(diǎn)在拋物線上，得，

又，

；

②由題得，

（解法一）

所以直線的方程為

（解法二）

設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則.設(shè)直線的斜率為，則：

直線的方程為：代入直線的直線方程，

可得

于是有：

得，

又由（1）可設(shè)內(nèi)切圓的圓心為則，

即：，解得：

所以，直線的方程為：.