Question

11．若對任意x＞0，$\frac{x}{{{x^2}+4x+1}}$≤a恒成立，則a的取值范圍是a≥$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 $\frac{x}{{{x^2}+4x+1}}$≤a恒成立，只需求出左式的最大值即可，根據(jù)函數(shù)的形式特點，可求出倒式的最值，進而求出原函數(shù)的最值．

解答 解：令$\frac{x}{{{x^2}+4x+1}}$=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$+4≥6（當x=1時，等號成立），
∴$\frac{1}{f（x）}$≤$\frac{1}{6}$，
∴a≥$\frac{1}{6}$，
故答案為a≥$\frac{1}{6}$．

點評 考查了恒成立問題的轉(zhuǎn)化和函數(shù)最值的求法．注意方法的應(yīng)用．