Question

13．在直角坐標(biāo)系XOY中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，B（0，b），連接BF₂并延長，交橢圓于A，C與A關(guān)于X軸對(duì)稱
（1）若C（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），BF₂=$\sqrt{2}$，求橢圓方程
（2）若F₁C⊥AB，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 （1）將C代入橢圓方程及兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）由直線BA的方程代入橢圓方程，求得A和C點(diǎn)坐標(biāo)，由-$\frac{c}$×$\frac{^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$=-1，根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：（1）∵丨BF₂丨=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，將點(diǎn)C（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∴$\frac{16}{9{a}^{2}}+\frac{1}{9^{2}}=1$，且c²+b²=a²
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）直線BA方程為y=-$\frac{c}$x+b，與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1聯(lián)立得
則$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$x²-$\frac{2{a}^{2}}{c}$x=0．∴點(diǎn)A（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，-$\frac{^{3}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
∴點(diǎn)C（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{^{3}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），F(xiàn)₁（-c，0）
直線CF₁斜率k=$\frac{^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$，又∵F₁C⊥AB，
∴-$\frac{c}$×$\frac{^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$=-1，
∴$\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{{c}^{2}（3{a}^{2}+{c}^{2}）}$=1，整理得：5e²=1，
由0＜e＜1，解得；e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
橢圓的離心率$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．