Question

（本小題14分）

如圖4，正方體中，點(diǎn)E在棱CD上。

（1）求證：；

（2）若E是CD中點(diǎn)，求與平面所成的角；

（3）設(shè)M在上，且，是否存在點(diǎn)E，使平面⊥平面，若存在，指出點(diǎn)E的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（本小題14分）

解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，依次為軸、軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為。                  ………2分

（1），

∵  ，

∴  。                                               ………5分

（2）當(dāng)E是CD中點(diǎn)時(shí)，

，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，

則由得一組解是，………7分

又，由，

從而直線與平面所成的角的正弦值是。       ………9分

（3）設(shè)存在符合題意的E點(diǎn)為E(0,t,0)

可得平面的一個(gè)法向量是，

平面的一個(gè)法向量是 …11分

∵  平面⊥平面，

∴  ，

解得或（舍），                                    ………13分

故當(dāng)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)時(shí)，平面⊥平面，       ………14分