Question

13．設函數(shù)f（x）=|ax+1|+|x-a|（a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出f（x）的最小值g（a）；
（2）對任意a∈（0，2]，存在實數(shù)x₀，使得f（x₀）≤m，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用零點分段法，將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即最小值；
（2）對任意a∈（0，2]，存在實數(shù)x₀，使得f（x₀）≤m，則函數(shù)f（x）的最小值≤m，結(jié)合（1）中結(jié)論，求出f（x）的最小值g（a）的最大值，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由ax+1=0得：x=-$\frac{1}{a}$，由x-a=0得，x=a，
①當x＜-$\frac{1}{a}$時，f（x）=-ax-1-x+a=-（a+1）x+a-1，此時函數(shù)為減函數(shù)，
此時f（x）＞f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$+a，
②當-$\frac{1}{a}$≤x≤a時，f（x）=ax+1-x+a=（a-1）x+a+1，
若0＜a＜1，此時函數(shù)為減函數(shù)，f（x）≥f（a）=a²+1，
若a=1，此時f（x）=2恒成立；
若a＞1，此時函數(shù)為增函數(shù)，f（x）≥f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$+a，
③當x＜-$\frac{1}{a}$時，f（x）=ax+1+x-a=（a+1）x-a+1，此時函數(shù)為增函數(shù)，
此時f（x）＞f（a）=a²+1，
綜上所述：若0＜a＜1，函數(shù)在（-∞，a]上為減函數(shù)，在[a，+∞）上為增函數(shù)；
若a=1，函數(shù)在（-∞，-$\frac{1}{a}$]上為減函數(shù)，在[a，+∞）上為增函數(shù)；
若a＞1，函數(shù)在（-∞，-$\frac{1}{a}$]上為減函數(shù)，在[-$\frac{1}{a}$，+∞）上為增函數(shù)；
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+1，0＜a≤1\\ \frac{1}{a}+a，a＞1\end{array}\right.$
證明：（2）由（1）得：f（x）的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+1，0＜a≤1\\ \frac{1}{a}+a，1＜a≤2\end{array}\right.$，
若對任意a∈（0，2]，存在實數(shù)x₀，使得f（x₀）≤m，
則g（a）≤m恒成立，
由g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+1，0＜a≤1\\ \frac{1}{a}+a，1＜a≤2\end{array}\right.$得，當a=2時，g（a）取最大值$\frac{5}{2}$，
∴m≥$\frac{5}{2}$

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的最值，難度中檔．