Question

13．設(shè)定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足以下三個條件時稱f（x）為“友誼函數(shù)”：
（1）對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；      
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
則下列判斷正確的序號有①②③．
①f（x）為“友誼函數(shù)”，則f（0）=0；
②函數(shù)g（x）=x在區(qū)間[0，1]上是“友誼函數(shù)”；
③若f（x）為“友誼函數(shù)”，且0≤x₁＜x₂≤1，則f（x₁）≤f（x₂）．

Answer 1

分析 ①直接取x₁=x₂=0，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）可得：f（0）≤0，再結(jié)合已知條件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
②按照“友誼函數(shù)”的定義進(jìn)行驗(yàn)證；
③由0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即得結(jié)論成立．

解答 解：①∵f（x）為“友誼函數(shù)”，
則取x₁=x₂=0，得f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
又由f（0）≥0，得f（0）=0，故①正確；
②g（x）=x在[0，1]上滿足：（1）g（x）≥0；（2）g（1）=1，
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有g(shù)（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=（x₁+x₂）-（x₁+x₂）=0，即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂），
滿足（3）．故g（x）=x滿足條件（1）﹑（2）﹑（3），
∴g（x）=x為友誼函數(shù)．故②正確；
③∵0≤x₁＜x₂≤1，∴0＜x₂-x₁＜1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），
故有f（x₁）≤f（x₂）．故③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，是在新定義下對抽象函數(shù)進(jìn)行考查，在做關(guān)于新定義的題目時，一定要先研究定義，在理解定義的基礎(chǔ)上再做題，是中檔題．