Question

如圖，點F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點，定點P的坐標為（-8，0），線段MN為橢圓的長軸，已知|MN|=8，且該橢圓的離心率為

1

2

．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點P的直線與橢圓相交于兩點A、B，求證：∠AFM=∠BFN；
（3）記△ABF的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

2a=8 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)直線AB的斜率為0時，成立；當(dāng)直線AB的斜率不為0時，設(shè)AB的方程為x=my-8，代入橢圓方程整理，得：（3m²+4）y²-48my+144=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能證明∠AFM=∠BFN．
（3）由已知條件推導(dǎo)出S=S_△PBF-S_△PAF≤3

3

，由此能求出△ABF的面積S的最大值為3

3

．

解答： （1）解：∵|MN|=8，且該橢圓的離心率為

1

2

，
∴

2a=8 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，
解得a=4，b=

12

，
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）證明：當(dāng)直線AB的斜率為0時，∠AFM=∠BFM=0°，成立；
當(dāng)直線AB的斜率不為0時，設(shè)AB的方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理，得：（3m²+4）y²-48my+144=0，
∴△=576（m²-4），設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
yA+yB=

48m

3m2+4

，y_Ay_B=

144

3m2+4

，
∴k_AF+k_BF=

yA

xA+2

+

yB

xB+2

=

yA

myA-6

+

yB

myB-6

=

yA(myB-6)(myA-6)

(myA-6)(myB-6)

=

2myAyB-6(yA+yB)

(myA-6)(myB-6)

，
∵2myAyB-6(yA+yB)=2m•

144

3m2+4

-6•

48m

3m2+4

=0，
∴k_AF=-k_BF，
∴∠AFM=∠BFN．
（3）解：S=S_△PBF-S_△PAF=

1

2

•|PF|•|yB-yA|
=

72• m2-4

3m2+4

=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)3

m2-4

=

16

m2-4

，即m=±

2 21

3

（此時△＞0）時取等號，
∴△ABF的面積S的最大值為3

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查兩角相等的證明，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．