Question

（本小題滿分12分）

    已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，側(cè)面ABB₁A₁是邊長為2的菱形，且，M是AB的中點(diǎn)，

（1）求證：平面ABC；

（2）求點(diǎn)M到平面AA₁C₁C的距離.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；

（2）

【解析】(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415440894256315/SYS201208241544378479428098_DA.files/image002.png">，只需證即可.然后證為正三角形.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，取AC的中點(diǎn)N，連接A₁N，則易證：,

所以,再過M作，垂直為Q,則MQ為點(diǎn)M到平面AA₁C₁C的距離.

（Ⅰ）∵側(cè)面是菱形，

且，∴為正三角形.

又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴,

由已知，∴平面.（4分）

（Ⅱ）作于, 連接,作于，

由已知, 又∵，∴面,

由面, 得,

∵，且, ，∴面,

于是即為所求，                                             （8分）

∵菱形邊長為2，易得, , ，

∴.                                            （12分）