Question

7．在△ABC中，P為AB的中點，O在邊AC上，且|$\overrightarrow{AO}$|=2|$\overrightarrow{OC}$|，BO∩CP=R，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$．
（1）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AR}$；
（2）若H在BC上，且RH⊥BC，設|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，θ=＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，若θ=[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，求$\frac{|\overrightarrow{CH}|}{|\overrightarrow{CB}|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）看出P，R，C三點共線，從而有$\overrightarrow{PR}=λ\overrightarrow{PC}$，這樣便得到$\overrightarrow{AR}=（1-λ）\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{AC}$，而同理由B，R，O三點共線便能得到$\overrightarrow{AR}=（1-μ）\overrightarrow{a}+\frac{2μ}{3}\overrightarrow$．從而由平面向量基本定理便得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-λ}{2}=1-μ}\\{λ=\frac{2μ}{3}}\end{array}\right.$，這樣解出λ即可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AR}$；
（2）根據(jù)上面可得到$\overrightarrow{RC}=\frac{3}{7}\overrightarrow-\frac{3}{14}\overrightarrow{a}$，可設$\overrightarrow{CH}=k\overrightarrow{CB}$，這樣根據(jù)條件RH⊥BC即可得到$\overrightarrow{RH}•\overrightarrow{BC}=0$，然后分別用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{RH}，\overrightarrow{BC}$，然后進行數(shù)量積的運算，這樣便得到$cosθ=\frac{5k-\frac{9}{7}}{4k+\frac{3}{7}}$，從而由θ的范圍即可得出k的范圍，即得出$\frac{|\overrightarrow{CH}|}{|\overrightarrow{CB}|}$的范圍．

解答 解：（1）P，R，C三點共線；
∴存在λ，使$\overrightarrow{PR}=λ\overrightarrow{PC}$；
∴$\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}=λ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}）$；
∴根據(jù)條件，$\overrightarrow{AR}=（1-λ）\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{AC}$=$\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$；
同理由B，R，O三點共線可得，$\overrightarrow{AR}=（1-μ）\overrightarrow{a}+\frac{2μ}{3}\overrightarrow$；
∴根據(jù)平面向量基本定理：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-λ}{2}=1-μ}\\{λ=\frac{2μ}{3}}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{4}{7}$；
∴$\overrightarrow{AR}=\frac{3}{14}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow$；
（2）由上面$\overrightarrow{PR}=\frac{4}{7}\overrightarrow{PC}$；
$\overrightarrow{RC}=\frac{3}{7}\overrightarrow{PC}=\frac{3}{7}（\overrightarrow-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}）=\frac{3}{7}\overrightarrow-\frac{3}{14}\overrightarrow{a}$；
$\overrightarrow{CH}$，$\overrightarrow{CB}$共線，設$\overrightarrow{CH}=k\overrightarrow{CB}=k\overrightarrow{a}-k\overrightarrow$，k＞0；
RH⊥BC；
∴$\overrightarrow{RH}•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{CH}）•\overrightarrow{BC}$=$[（\frac{3}{7}-k）\overrightarrow+（k-\frac{3}{14}）\overrightarrow{a}]•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）=0$；
∴$-5k+\frac{9}{7}+（2k+\frac{3}{14}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
∴$-5k+\frac{9}{7}+2（2k+\frac{3}{14}）cosθ=0$；
∴$cosθ=\frac{5k-\frac{9}{7}}{4k+\frac{3}{7}}$；
∵$θ∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$；
∴$-\frac{1}{2}≤cosθ≤\frac{1}{2}$；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{5k-\frac{9}{7}}{4k+\frac{3}{7}}≤\frac{1}{2}$；
解得$\frac{15}{98}≤k≤\frac{1}{2}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{CH}|}{|\overrightarrow{CB}|}$的范圍為$[\frac{15}{98}，\frac{1}{2}]$．

點評 考查共線向量基本定理，向量減法的幾何意義，向量的加法、減法和數(shù)乘運算，平面向量基本定理，以及向量數(shù)量積的計算公式．