Question

[x]表示不超過x的整數(shù)部分，如[2]=2，[3.1]=3，[-2.7]=-3設(shè)f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

(x∈R)，則y=[f（x）]+[f（-x）]的值域?yàn)椋ā　。?/div>

A、{0}

B、{-1，0，1}

C、{-1，0}

D、{-2，0}

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分析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性分x∈（-∞，0），x=0，x∈（0，+∞）三段求出函數(shù)f（x）的取值范圍；在求出f（-x）的解析式后，同樣分x∈（-∞，0），x=0，x∈（0，+∞）三段求出函數(shù)f（-x）的取值范圍，最后借助于新定義求解y=[f（x）]+[f（-x）]的值域．

解答：解：∵1+2^x＞2^x，∴0＜

2x

1+2x

＜1，∴-

1

2

＜

2x

1+2x

-

1

2

＜

1

2

又f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

=

1

1 2x +1

-

1

2

在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
∴x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）∈（-

1

2

，0），[f（x）]=-1．
x=0時(shí)f（0）=0．
x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）∈（0，

1

2

），[f（x）]=0．
f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

∵1+2^x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

令g（x）=f（-x），
又g（x）=f(-x)=

1

1+2x

-

1

2

在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，且當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=0，
∴x∈（-∞，0）時(shí)，g（x）=f（-x）∈（0，

1

2

），[f（-x）]=0．
x=0時(shí)g（0）=f（0）=0．
x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）=f（-x）∈（-

1

2

，0），[f（-x）]=-1．
綜上，x∈（-∞，0）時(shí)，y=[f（x）]+[f（-x）]=-1+0=0
x=0時(shí)，y=[f（x）]+[f（-x）]=0+0=0
x∈（0，+∞）時(shí)，y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1
所以y=[f（x）]+[f（-x）]的值域?yàn)閧-1，0}．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了分段函數(shù)值域的求法，解答此題的關(guān)鍵是正確分段并借助兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性求其在各段內(nèi)的范圍，此題是中檔題，也是易錯(cuò)題．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性分x∈（-∞，0），x=0，x∈（0，+∞）三段求出函數(shù)f（x）的取值范圍；在求出f（-x）的解析式后，同樣分x∈（-∞，0），x=0，x∈（0，+∞）三段求出函數(shù)f（-x）的取值范圍，最后借助于新定義求解y=[f（x）]+[f（-x）]的值域．

解答：解：∵1+2^x＞2^x，∴0＜

2x

1+2x

＜1，∴-

1

2

＜

2x

1+2x

-

1

2

＜

1

2

又f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

=

1

1 2x +1

-

1

2

在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
∴x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）∈（-

1

2

，0），[f（x）]=-1．
x=0時(shí)f（0）=0．
x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）∈（0，

1

2

），[f（x）]=0．
f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

∵1+2^x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

令g（x）=f（-x），
又g（x）=f(-x)=

1

1+2x

-

1

2

在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，且當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=0，
∴x∈（-∞，0）時(shí)，g（x）=f（-x）∈（0，

1

2

），[f（-x）]=0．
x=0時(shí)g（0）=f（0）=0．
x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）=f（-x）∈（-

1

2

，0），[f（-x）]=-1．
綜上，x∈（-∞，0）時(shí)，y=[f（x）]+[f（-x）]=-1+0=0
x=0時(shí)，y=[f（x）]+[f（-x）]=0+0=0
x∈（0，+∞）時(shí)，y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1
所以y=[f（x）]+[f（-x）]的值域?yàn)閧-1，0}．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了分段函數(shù)值域的求法，解答此題的關(guān)鍵是正確分段并借助兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性求其在各段內(nèi)的范圍，此題是中檔題，也是易錯(cuò)題．