Question

一個空間幾何體的三視圖及部分數據如圖1所示．

（1）請在圖2中補充完整該幾何體的直觀圖，并求它的體積；
（2）證明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）若D是棱CC₁的中點，在棱AB上取中點E，判斷DE是否平行于平面AB₁C₁，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由三視圖知幾何體為一直三棱柱，高為

3

，底面三角形為直角三角形，兩直角邊長分別為

3

，1，代入棱柱的體積公式計算；
（2）根據線面垂直的判定定理只需證明A₁C⊥B₁C₁；A₁C⊥AC₁即可；
（3）當E為棱AB的中點時，DE∥平面AB₁C₁，利用證明平面DEF∥平面AB₁C₁，可得線面平行．

解答：解：（1）幾何體的直觀圖如圖．

幾何體為一直三棱柱，高為

3

，底面三角形為直角三角形，兩直角邊長分別為

3

，1，
∴其體積V=

1

2

×1×

3

×

3

=

3

2

；      
（2）證明：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BC⊥CC₁．
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁C．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥A₁C．
∵四邊形ACC₁A₁為正方形，∴A₁C⊥AC₁．
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）當E為棱AB的中點時，
DE∥平面AB₁C₁．
證明：如圖，取BB₁的中點F，連結EF，FD，DE，
∵D，E，F分別為CC₁，AB，BB₁的中點，∴EF∥AB₁．
∵AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁，
∴EF∥平面AB₁C₁．同理可得FD∥平面AB₁C₁，
又EF∩FD=F，∴平面DEF∥平面AB₁C₁．
而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB₁C₁．

點評：本題由三視圖求幾何體的體積，考查了線面垂直及線面平行的證明，解題的關鍵是判斷三視圖的數據所對應的幾何量及幾何圖形的性質．