Question

已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)x₁,x₂,都有|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|,且f(p)=p(p為常數(shù)),又在數(shù)列{a_n}中,a₁＜p,f(a_n)+a_n=2a_n+1,求證:

(1)a_n＜p;(2)a_n+1＞a_n.

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明從“n=k到n=k+1”時(shí),關(guān)鍵是“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”

證明：很明顯,n=1時(shí),a₁＜p成立.假設(shè)n=k時(shí),a_k＜p成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),由|f(p)-f(a_k)|＜|p-a_k|及f(p)=p,可得|p-f(a_k)|＜|p-a_k|,

又a_k＜p,故|p-f(a_k)|＜p-a_ka_k-p＜p-f(a_k)＜p-a_k

注意到已知條件f(a_k)+a_k=2a_k+1,

將其變形為f(a_k)=2a_k+1-a_k,

代入①式得a_k+1＜p;代入②式得a_k+1＞a_k.

這樣命題(1)(2)獲證.