Question

15．拋物線C：x²=ay（a＞0）的焦點與雙曲線E：x²-2y²=2的右焦點的連線交C于第一象限內(nèi)的點M，若C在點M處的切線平行于E的一條漸近線，則實數(shù)a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點坐標(biāo)，由兩點式寫出過兩個焦點的直線方程，求出函數(shù)y=$\frac{1}{a}$x²在x取直線與拋物線交點M的橫坐標(biāo)時的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點橫坐標(biāo)與a的關(guān)系，把M點的坐標(biāo)代入直線方程即可求得a的值．

解答 解：由拋物線C：x²=ay（a＞0），可得焦點坐標(biāo)為F（0，$\frac{a}{4}$）．
由雙曲線E：x²-2y²=2得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1．
所以雙曲線的右焦點為（1，0）．
則拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線所在直線方程為ax+4y-a=0①．
設(shè)該直線交拋物線于M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{a}$），則C在點M處的切線的斜率為$\frac{2{x}_{0}}{a}$．
由題意可知$\frac{2{x}_{0}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得x₀=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，代入M點得M（$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，$\frac{1}{8}$a）
把M點代入①得：a×$\frac{\sqrt{2}}{4}$a+4×$\frac{1}{8}$a-a=0．
解得a=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的切線的斜率等于函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．