Question

4．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，E為DC的中點，那么$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{EB}$所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{7}$
• B． -$\frac{\sqrt{7}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{14}$
• D． -$\frac{\sqrt{7}}{14}$

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，寫出向量的坐標，代入夾角公式計算．

解答 解：以AB所在直線為x軸，A為原點，建立平面直角坐標系，如圖，則A（0，0），B（2，0），C（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{EB}$|=$\sqrt{（{\frac{1}{2}）}^{2}+（{-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=1.$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EB}$=$\frac{5}{4}-\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{EB}$＞=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算在集合中的應用，建立平面直角坐標系是快捷解題方法之一．