Question

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù).

（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）令，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．區(qū)間滿足：在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)．在所有滿足上述條件的中，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在上單調(diào)遞增，且，

所以，且，

所以.即的取值范圍是.

（2），

將的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的圖象，所以.

令，得或，

所以兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為或.

若b－a最小，則a和b都是零點(diǎn)，

此時(shí)在區(qū)間[a，π＋a]，[a,2π＋a]，…，[a，mπ＋a](m∈N*)上分別恰有3,5，…，2m＋1個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間[a,14π＋a]上恰有29個(gè)零點(diǎn)，

從而在區(qū)間(14π＋a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，

所以.

另一方面，在區(qū)間上恰有30個(gè)零點(diǎn)，

因此，b－a的最小值為.