Question

5．設函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)”，已知f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{6}$mx³-$\frac{3}{2}$x²．
（1）求f′（x）、f″（x）；
（2）若f（x）為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，試確定實數(shù)m的值；
（3）若當實數(shù)m滿足|m|≤2時，函數(shù)f（x）在（a，b）上總為“凸函數(shù)”，求b-a的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接求導，即可求f′（x）、f″（x）；
（2）函數(shù)在區(qū)間（-1，3）上為“凸函數(shù)”，所以f″（x）＜0，即對函數(shù)y=f（x）二次求導，轉化為不等式問題解決即可；
（3）利用函數(shù)總為“凸函數(shù)”，即f″（x）＜0恒成立，轉化為不等式恒成立問題，討論解不等式即可．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{6}$mx³-$\frac{3}{2}$x²，得f′（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$mx²-3x，f″（x）=x²-mx-3（3分）
（2）若f（x）為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f″（x）=x²-mx-3＜0在區(qū)間（-1，3）上恒成立，
由二次函數(shù)的圖象，當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{f″（-1）=1+m-3≤0}\\{f″（3）=9-3m-3≤0}\end{array}\right.$，即m=2．（7分）
（3）當|m|≤2時，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立?當|m|≤2時，mx＞x²-3恒成立．（8分）
當x=0時，f″（x）=-3＜0顯然成立．（9分）
當x＞0，x-$\frac{3}{x}$＜m，
∵m的最小值是-2．∴x-$\frac{3}{x}$＜-2．
從而解得0＜x＜1，（11分）
當x＜0，x-$\frac{3}{x}$＞m，
∵m的最大值是2，∴x-$\frac{3}{x}$＞2，
從而解得-1＜x＜0．（13分）
綜上可得-1＜x＜1，從而（b-a）_max=1-（-1）=2（14分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉化能力，屬于中檔題．