Question

已知數(shù)列滿足，前n項和為Sn，Sn=.

（1）求證：是等比數(shù)列；

（2）記，當(dāng)時是否存在正整數(shù)m，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）存在，m=4.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)，再由已知得，兩式相減即可證得是等比數(shù)列；（2）由（1）可求得的通項公式，，從而得.顯然.由此可知，如果存在滿足條件的正整數(shù)，則為偶數(shù).所以只需在偶數(shù)項中求出最大項.求數(shù)列的最大值，需比較相鄰項的大小，由此需作差： .根據(jù)這個差的符號，即可知道其單調(diào)性，從而求出最大項.

試題解析：（1） 相減得，故是等比數(shù)列。

（2）由（1）可得：，

所以.

，所以.

若存在滿足條件的正整數(shù)，則為偶數(shù)

當(dāng)即時，

又時

因為

綜上，.

∴存在m=4，滿足題意.

考點：1、數(shù)列；2、不等式.