Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：右焦點(diǎn)的直線交于A,B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.

(Ι)求M的方程；

（Ⅱ）C,D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形面積的最大值

 

Answer 1

【答案】

(Ι) （Ⅱ）

【解析】(Ι)設(shè)則，，（1）－（2）得：

，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081712442771793204/SYS201308171245397807802357_DA.files/image009.png">，設(shè)，因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為，所以，即，所以可以解得，即，即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081712442771793204/SYS201308171245397807802357_DA.files/image017.png">，所以，所以M的方程為.

（Ⅱ）因?yàn)镃D⊥AB，直線AB方程為，所以設(shè)直線CD方程為，

將代入得：，即、，所以可得

；將代入得：，設(shè)則

=，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081712442771793204/SYS201308171245397807802357_DA.files/image030.png">，即，所以當(dāng)時(shí)，|CD|取得最大值4，所以四邊形ACBD面積的最大值為.

本題第（Ⅰ）問，屬于中點(diǎn)弦問題,運(yùn)用設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想;第（Ⅱ）問,運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng),然后由面積公式求出面積的最大值.對(duì)第（Ⅰ）問，一部分同學(xué)想不到設(shè)而不求的思想,容易聯(lián)立方程組求解而走彎路；第（Ⅱ）問,容易出現(xiàn)計(jì)算失誤.

【考點(diǎn)定位】本小題考查橢圓的方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)中的待定系數(shù)法、設(shè)而不求思想 ，考查同學(xué)們的計(jì)算能力以及分析問題、解決問題的能力.圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)問題,年年必考,熟練本部分的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類問題的關(guān)鍵.