Question

19．通過觀察下面兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題：
sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$
sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$
sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 已知條件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$，sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$．可以發(fā)現(xiàn)等式左邊參加累加的三個均為正弦的平方，且三個角組成一個以60°為公差的等差數(shù)列，右邊是常數(shù)，由此不難得到結(jié)論．

解答 解：由已知中sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$，sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$．
歸納推理的一般性的命題為：
sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{3}{2}$．
證明如下：
左邊=$\frac{1-cos（2α-120°）}{2}$+$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1-cos（2α+120°）}{2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=$\frac{3}{2}$=右邊．
∴結(jié)論正確．
故答案為：sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），（3）論證，屬于基礎題．