Question

在數(shù)列中，，且前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的倍（）。

（1）寫(xiě)出此數(shù)列的前5項(xiàng)；       （2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明。

 

Answer 1

【答案】

（1）數(shù)列的前5項(xiàng)是：，．（2）見(jiàn)解析.

【解析】(1)本小題根據(jù)題意可得，分別令n=2,3,4,5不難求解。

(2)由(1)中的前5項(xiàng)，不難歸納出,然后再采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

要分兩個(gè)步驟來(lái)進(jìn)行：第一步驗(yàn)證：當(dāng)n=1時(shí)，式子成立；

第二步：先假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，再證明n=k+1時(shí)，等式也成立，在證明過(guò)程中必須要用上歸納假設(shè)。

（1）由已知，，分別取，

得，，

，

，

所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，．-----------4分

（2）由（1）中的分析可以猜想．————————————6分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，公式顯然成立．

②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，那么由已知，

得，

即，

所以，即，

又由歸納假設(shè)，得，

所以，即當(dāng)時(shí)，公式也成立．—————————10分

由①和②知，對(duì)一切，都有成立．------------------12分