Question

已知點(diǎn)P（1，1）是函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

ax²-（a+1）x的圖象上一點(diǎn)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）證明：存在a∈（1，+∞），使得f（a）=f（

1

3

）；
（3）記函數(shù)y=f（x）的圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點(diǎn)，如果在曲線C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得①：x₀=

x1+x2

2

；②：曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)f（x）存在“中值相依切線”，試問：函數(shù)f（x）是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的定義域，代入點(diǎn)P（1，1）求a，從而化簡函數(shù)并確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-f（

1

3

），由于f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增知f（1）＞f（

1

3

），從而得即g（1）＞0；再取x′=2e＞1，從而得g（x′）=e（

ln6+ 2 9

e

+6-8e）＜0，從而證明；
（3）假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值相依切線”，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線y=f（x）上的不同兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，從而化簡可得ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

；令

x2

x1

=t（t＞1），化為lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，lnt+

4

t+1

=2；再令h（t）=lnt+

4

t+1

，求導(dǎo)h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

；從而解得．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）．
∵點(diǎn)P（1，1）是函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

ax²-（a+1）x的圖象上一點(diǎn)，
∴

1

2

a-（a+1）=1，a=-4，
f（x）=lnx-2x²+3x．
∴f′（x）=

(x-1)(4x+1)

x

．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	1	↘

∴f（x） 在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）證明：由（1）知f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
設(shè)g（x）=f（x）-f（

1

3

），由于f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
故f（1）＞f（

1

3

） 即g（1）＞0．
取x′=2e＞1，則g（x′）=e（

ln6+ 2 9

e

+6-8e）＜0，
所以存在α∈（1，x′），使f（α）=f（

1

3

）．
即存在α∈（1，+∞），使f（α）=f（

1

3

）．
（3）假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值相依切線”．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線y=f（x）上的不同兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，
則y₁=lnx₁-2x₁²+3x₁，y₂=lnx₂-2x₂²+3x₂．
k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1-2( x 2 2 - x 2 1 )+3(x2-x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-2（x₁+x₂）+3．
曲線在點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率k=f′（x₀）=f′（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

-2（x₁+x₂）+3；
依題意得：

lnx2-lnx1

x2-x1

-2（x1+x2）+3=

2

x1+x2

-2（x₁+x₂）+3；
化簡可得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．
設(shè)

x2

x1

=t（t＞1），上式可化為lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，lnt+

4

t+1

=2；
令h（t）=lnt+

4

t+1

，
h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

．
因?yàn)閠＞1，顯然h′（t）＞0，所以在（1，+∞）上遞增，
顯然有h（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）內(nèi)不存在，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
綜上所述，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)f（x）不存在“中值相依切線”．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及學(xué)生的化簡與構(gòu)造函數(shù)的能力，屬于難題．