Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，且橢圓C的短軸長為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P，M，N橢圓C上的三個動點(diǎn)．
（i）若直線MN過點(diǎn)D（0，-

1

2

），且P點(diǎn)是橢圓C的上頂點(diǎn)，求△PMN面積的最大值；
（ii）試探究：是否存在△PMN是以O(shè)為中心的等邊三角形，若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用離心率以及短軸長，求出橢圓中a、b、c．即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）（i）由已知，直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN方程為y=kx-

1

2

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，一弦長公式，推出面積S_△PMN的表達(dá)式，通過換元，利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值．
（ii）假設(shè)存在△PMN是以O(shè)為中心的等邊三角形．
（1）當(dāng)P在y軸上時，推出與△PMN為等邊三角形矛盾．
（2）當(dāng)P在x軸上時，同理推出與△PMN為等邊三角形矛盾．
（3）當(dāng)P不在坐標(biāo)軸時，設(shè)P（x₀，y₀），MN的中點(diǎn)為Q，則k_OP=

x0

y0

，通過O為△PMN的中心，則得到Q(-

x0

2

，-

y0

2

)．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），推出k_MN，說明k_OP•k_MN=

x0

y0

•（-

1

4

•

x0

y0

）=-

1

4

≠-1，因此OP與MN不垂直，與等邊△PMN矛盾，得到不存在△PMN是以O(shè)為中心的等邊三角形．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得

c a = 3 2 2b=2 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，
所以橢圓方程為

x2

4

+y2=1．

（Ⅱ）（i）由已知，直線MN的斜率存在，
設(shè)直線MN方程為y=kx-

1

2

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

x2 4 +y2=1 y=kx- 1 2

得（1+4k²）x²-4kx-3=0，
∴x₁+x₂=

4k

1+4k2

，x₁x₂=

-3

1+4k2

，
又|PD|=

3

2

．
所以S_△PMN=

1

2

|PD|•|x₁-x₂|=

3

4

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

4

16k2 (1+4k2)2 + 12 1+4k2

=

3 16k2+3

2(1+4k2)

．
令t=

16k2+3

，則t≥

3

，k²=

t2-3

16

所以S_△PMN=

3t

2(1+4• t2-3 16 )

=

6t

t2+1

=

6

t+ 1 t

，
令h（t）=t+

1

t

，t∈[

3

，+∞），則h′（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，所以h（t）在[

3

，+∞），單調(diào)遞增，
則t=

3

，即k=0時，h（t）的最小值，為h（

3

）=

4 3

3

，
所以△PMN面積的最大值為

3 3

2

．
（ii）假設(shè)存在△PMN是以O(shè)為中心的等邊三角形．
（1）當(dāng)P在y軸上時，P的坐標(biāo)為（0，1），則M，N關(guān)于y軸對稱，MN的中點(diǎn)Q在y軸上．
又O為△PMN的中心，所以

PO

=2

OQ

，可知Q（0，-

1

2

），M（-

3

，-

1

2

），N（

3

，-

1

2

）．
從而|MN|=2

3

，|PM|=

21

2

，|MN|≠|(zhì)PM|，與△PMN為等邊三角形矛盾．
（2）當(dāng)P在x軸上時，同理可知，|MN|≠|(zhì)PM|，與△PMN為等邊三角形矛盾．
（3）當(dāng)P不在坐標(biāo)軸時，設(shè)P（x₀，y₀），MN的中點(diǎn)為Q，則k_OP=

x0

y0

，
又O為△PMN的中心，則

PO

=2

OQ

，可知Q(-

x0

2

，-

y0

2

)．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=2x_Q=-x₀，y₁+y₂=2y_Q=-y₀，
又x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4，兩式相減得k_MN=

y1-y2

x1-x2

=-

1

4

x1+x2

y1+y2

=-

1

4

•

x1+x2

y1+y2

=-

1

4

•

x0

y0

，
從而k_MN=-

1

4

•

x0

y0

．
所以k_OP•k_MN=

x0

y0

•（-

1

4

•

x0

y0

）=-

1

4

≠-1，
所以O(shè)P與MN不垂直，與等邊△PMN矛盾．
綜上所述，不存在△PMN是以O(shè)為中心的等邊三角形．

點(diǎn)評：本小題考查點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、分析解決問題能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想