Question

2．證明．對于任意兩個向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$都有||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的幾何意義借助于三角形的性質(zhì)得出．

解答 證明：（1）若$\overrightarrow{a}$或$\overrightarrow$為零向量，顯然結(jié)論成立；
（2）若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$為非零向量，
①若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$方向相同，則||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．
②若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$方向相反，則||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．
③若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線，設(shè)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow=\overrightarrow{OB}$，則$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=$\overrightarrow{BA}$．
則|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=|AB|，||$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=|OA|+|OB|，||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||=|OA-OB|．
由三角形的性質(zhì)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可知|OA-OB|＜|AB|＜|OA|+|OB|．
∴||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．
綜上，||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．

點評 本題考查了平面向量的幾何意義，分類討論，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．