Question

過原點O引拋物線y=x²+ax+4a²的切線，當a變化時，兩個切點分別在拋物線（　　）上．

• A、y=

  1

  2

  x²，y=

  3

  2

  x²
• B、y=

  3

  2

  x²，y=

  5

  2

  x²
• C、y=x²，y=3x²
• D、y=3x²，y=5x²

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導數(shù)，表示出切線的方程，解出a的值，從而表示出兩個切點所的在拋物線方程．

解答： 解：y'=2x+a，
設(shè)切點（x₀，y₀），則切線為y-y₀=（2x₀+a）（x-x₀）
又切線過原點，所以 y₀=（2x₀+a）x₀，
解得 a=

y0

x0

-2x₀，
將a和點（x₀，y₀）代入y=x²+ax+4a²，
得y₀=x₀²+y₀-2x₀²+4（

y0

x0

-2x₀）²，
即 4（

y0

x0

-2x₀）²=x₀²
2（

y0

x0

-2x₀）=±x₀
y₀-2x₀²=±

1

2

x₀²，
∴y=

3

2

x²，y=

5

2

x²，
故選：B．

點評：本題考查了導數(shù)的應(yīng)用，求曲線的切線方程問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．