Question

9．已知O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}=（{2{{cos}^2}x，1}），\overrightarrow{OB}=（{1，\sqrt{3}sin2x+a}）（x∈R，a∈R，a$為常數(shù)），若$y=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式f（x）；
（2）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，f（x）的最大值為2，求a的值，并指出函數(shù)f（x），x∈R的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）進行數(shù)量積的坐標運算得出f（x）=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x+a$，化簡后即可得到$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1+a$；
（2）由x的范圍可得出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，從而求出f（x）的最大值2+1+a=2，求出a的值，并可寫出f（x）的單調(diào)增減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x+a$
=$cos2x+\sqrt{3}sin2x+1+a$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1+a$
（2）當x$∈[0，\frac{π}{2}]$時，2x+$\frac{π}{6}$$∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$；
故f（x）_max=2+1+a=2，解得a=-1；
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$，k∈Z；
單調(diào)遞減區(qū)間為$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]$，k∈Z．

點評 考查向量數(shù)量積的坐標運算，二倍角的余弦公式，兩角和的正弦公式，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法．