Question

設(shè)函數(shù)（n∈N^*）的最小值為a_n，最大值為b_n，又C_n=3（a_n+b_n）-9
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求（n∈N^*）的值
（3）設(shè)，是否存在最小的整數(shù)m，使對任意的n∈N^*都有成立？若存在，求出m的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)可變形為（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0①，當(dāng)y=1 時不符合題意；當(dāng)y≠1 時，方程①為二次方程，利用△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0，可求函數(shù)的值域，根據(jù)函數(shù)（n∈N^*）的最小值為a_n，最大值為b_n，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由題意知a_n，b_n 是方程3y²-（4n+6）y-1+4n=0 的兩根，則，從而C_n=4n-3 （n∈N^*），求出T_n=C₁+C₂+…+C_n n（2n-1），即可求極限；
（3）根據(jù)
可得，從而數(shù)列{d_n} 為遞減數(shù)列，從而數(shù)列 {d_n} 的最大項為， 恒成立，只需，故可求最小的整數(shù)．
解答：解：（1）函數(shù)可變形為（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0①
當(dāng)y=1 時不符合題意；當(dāng)y≠1 時，方程①為二次方程，
∵x∈R
∴△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0 得-3y²+（4n+6）y+1-4n≥0 且y≠1
∴
∵函數(shù)（n∈N^*）的最小值為a_n，最大值為b_n
∴
（2）由題意知a_n，b_n 是方程3y²-（4n+6）y-1+4n=0 的兩根，
則 于是C_n=4n-3 （n∈N^*） …4分
設(shè)T_n=C₁+C₂+…+C_n
由C_n=4n-3 （n∈N^*），可知T_n=n（2n-1）
∴=  …8分
（3）∵
∴
∴數(shù)列{d_n} 為遞減數(shù)列，從而數(shù)列 {d_n} 的最大項為，
即 恒成立，只需，
∴，故最小的整數(shù)m=8．…13分
點評：本題以函數(shù)為載體，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的極限，考查數(shù)列的單調(diào)性及恒成立問題，有綜合性．