Question

已知：在函數(shù)的圖象上，以為切點的切線的傾斜角為．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）是否存在最小的正整數(shù)，使得不等式對于恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)；如果不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求證：（，）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）存在最小的正整數(shù)，使得不等式對于恒成立.

（Ⅲ）（，）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ） ，依題意，得，即，.

2分

∵ ， ∴ .                             3分

（Ⅱ）令，得.                 4分

當時，；

當時，；

當時，.

又，，，.

因此，當時，.              7分

要使得不等式對于恒成立，則.

所以，存在最小的正整數(shù)，使得不等式對于

恒成立.                                     9分

（Ⅲ）方法一：

.            11分

又∵ ，∴ ，.

∴

.         13分

綜上可得，（，）.                  14分

方法二：由（Ⅱ）知，函數(shù)在 [-1，]上是增函數(shù)；在[,]上是減函數(shù)；在[，1]上是增函數(shù).

又，，，.

所以，當x∈[-1，1]時，，即.

∵ ，∈[-1，1]，∴ ，.

∴ .   11分

又∵，∴ ，且函數(shù)在上是增函數(shù).

∴ .            13分

綜上可得，（，）.     14分

考點：本題主要考查應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，均值定理的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換。

點評：難題，本題綜合性較強，對復雜式子的變形能力要求較高。不等式的證明中，靈活運用不等式的性質(zhì)是一個關(guān)鍵點。