Question

18．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點，過點F₂作此雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為M，且滿足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=3|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，則此雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 由點到直線的距離公式可得|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=b，則|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=3b，cos∠F₁OM=-$\frac{a}{c}$，由此利用余弦定理可得a，b的關系，進而得到a，c的關系，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由F₂（c，0）到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b
即有|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=b，
則|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=3b，在△MF₁O中，|$\overrightarrow{OM}$|=a，|$\overrightarrow{O{F}_{1}}$|=c，
cos∠F₁OM=-cos∠F₂OM=-$\frac{a}{c}$，
由余弦定理可知$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-9^{2}}{2ac}$=-$\frac{a}{c}$，
又c²=a²+b²，化簡可得a²=2b²，
即有c²=a²+b²=$\frac{3}{2}$a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用，考查運算能力，屬于中檔題．