Question

13．若數(shù)列{a_n}的前n項和為${S_n}=\frac{{n{a_n}}}{2}，{a_2}=2$，則數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2（n-1）．

Answer 1

分析 求得a₁=0，當n≥3時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n{a}_{n}}{2}$-$\frac{（n-1）{a}_{n-1}}{2}$，整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，采用累乘法，即可求得a_n=2（n-1），當n=1和n=2時，顯然成立，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：由當n=2時，a₁+a₂=$\frac{2×{a}_{2}}{2}$，則a₁=0，
當n≥3時，由S_n-1=$\frac{（n-1）{a}_{n-1}}{2}$，則a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n{a}_{n}}{2}$-$\frac{（n-1）{a}_{n-1}}{2}$，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
則$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{1}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{2}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
以上各式相乘可得：$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{1}$×$\frac{3}{2}$×…×$\frac{n-1}{n-2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=n-1，則a_n=2（n-1），
當n=1和n=2時，顯然成立，
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2（n-1），
故答案為：a_n=2（n-1）．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求求法，考查累乘法求數(shù)列的通項公式，考查計算能力，屬于中檔題．