Question

過圓x²+y²=1上一點Q作圓的一點切線L，則L和拋物線y=

1

4

x²+1有公共點的概率是多少？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,幾何概型,拋物線的標準方程

專題：數形結合,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出切線方程，通過切線與拋物線以及圓相切，求出切線的斜率，推出切點之間的圓心角的范圍，利用幾何概型求出滿足題意的概率．

解答： 解：如圖，由題意可知切線的斜率存在．
設切線方程為：y=kx+m，m＜0．
切線L和拋物線y=

1

4

x²+1有公共點，
則

y=kx+m y= 1 4 x2+1

，消去y可得：

1

4

x²-kx-m+1=0，∴△=k²+m-1=0…①，
直線L與圓相切，可得

|m|

1+k2

=1…②，
解①②可得，m=1（舍去），或m=-2，此時k=±

3

，
切線的傾斜角為：

π

3

或

2π

3

，
此時兩個切點之間的圓心角為：

2π

3

，
切線L和拋物線y=

1

4

x²+1有公共點的圓心角是

4π

3

，
切線L和拋物線y=

1

4

x²+1有公共點的概率：

4π 3

2π

=

2

3

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的應用，考查幾何概型，直線與圓相切條件的應用，直線的斜率與傾斜角的關系，是綜合性比較強題目．