Question

7．在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點A（1，1），B（2，3），C（3，2），點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，且$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R）．
（Ⅰ）若$m=n=\frac{1}{3}$，求|$\overrightarrow{OP}$|；      
（Ⅱ）用x，y表示m-n，并求m-n的最小值．

Answer 1

分析 （I）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，1）．可得$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=（m+2n，2m+n）．由$m=n=\frac{1}{3}$，代入可得$\overrightarrow{OP}$=（1，1），即可得出$|\overrightarrow{OP}|$．
（II）由（m+2n，2m+n）=（x，y）．解得$m=\frac{-x+2y}{3}$，n=$\frac{2x-y}{3}$，m-n=y-x．設(shè)z=y-x，即可得出．

解答 解：（I）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，1）．
∴$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=（m+2n，2m+n）．
∵$m=n=\frac{1}{3}$，∴$\overrightarrow{OP}$=（1，1），∴$|\overrightarrow{OP}|$=$\sqrt{2}$．
（II）$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=（m+2n，2m+n）=（x，y）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2n}\\{y=2m+n}\end{array}\right.$，解得$m=\frac{-x+2y}{3}$，n=$\frac{2x-y}{3}$，∴m-n=y-x．
設(shè)z=y-x，直線z=y-x經(jīng)過點C（3，2）時，z取得最小值-1，即m-n的最小值為-1．

點評 本題考查了向量坐標(biāo)運算、向量相等、線性規(guī)劃一個問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．