Question

14．己知數列{a_n}滿足：a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≥{a}_{1}}\\{{a}_{n}+2，}&{{a}_{n}＜{a}_{1}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），若a₃=3，則a₁=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由已知數列遞推式結合a₃=3分類求得a₁．

解答 解：由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≥{a}_{1}}\\{{a}_{n}+2，}&{{a}_{n}＜{a}_{1}}\end{array}\right.$，
①若a₃≥a₁，則a₃=3=2a₂，${a}_{2}=\frac{3}{2}$，又a₂＜a₁與a₂=a₁+2相矛盾，
∴a₂≥a₁，${a}_{2}=\frac{3}{2}=2{a}_{1}$，得${a}_{1}=\frac{3}{4}$；
②若a₃＜a₁，則a₃=a₂+2，∴a₂=1，
由a₂=1=2a₁，a₁=$\frac{1}{2}$，與a₃＜a₁不符．
∴${a}_{1}=\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了數列的函數特性，體現(xiàn)了分類討論的數學思想方法，是中檔題．