Question

設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數．當x＜0時，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，且g（-3）=0，則不等式

f(x)

g(x)

＞0的解集是（　�。�

A．（-3，0）∪（3，+∞）

B．（-3，0）∪（0，3）

C．（-∞，-3）∪（3，+∞）

D．（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

分析：令F（x）=f（x）•g（x），則F′（x）＞0，

解答：解：設F（x）=f （x）g（x），
當x＜0時，?∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，
∴F（x）在（-∞，0）上為增函數；
∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）=-F（x），?
∴F（x）為R上的奇函數，故F（x）在R上亦為增函數．?
∵g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．?
構造如圖的F（x）=f （x）g（x）的圖象，

可知F（x）＞0的解集為（-3，0）∪（3，+∞）．
∵

f(x)

g(x)

＞0?

f(x)•g(x)

g2(x)

＞0?F（x）＞0，
∴

f(x)

g(x)

＞0的解集就是F（x）＞0的解集（-3，0）∪（3，+∞）．
故選A．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查構造函數思想與數形結合思想及等價轉化思想的綜合運用，考查推理分析與作圖運算的能力，屬于中檔題．