Question

某商場準備舉行促銷活動，對選出的某品牌商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品價格的基礎上將價格提高180元，同時允許顧客有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都可獲得一定數(shù)額的獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎的概率為

1

2

，請問：商場應將中獎獎金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷方案對自己有利（顧客獲獎獎金數(shù)的期望值不大于商場的提價數(shù)額）？

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：假設商場中獎獎金數(shù)額定為x元，則顧客在3次抽獎中所獲得獎金總額是隨機變量X，其所有可能 的取值為：0，x，2x，3x，X=0時表示顧客在一次抽獎中都沒有獲獎，分別計算隨機變量對應的概率，列出分布列求出X的期望值；要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金的期望值不大于商場的提價金額．

解答： 解：假設商場中獎獎金數(shù)額定為x元，則顧客在3次抽獎中所獲得獎金總額是隨機變量X，其所有可能 的取值為：0，x，2x，3x，X=0時表示顧客在一次抽獎中都沒有獲獎，所以P（X=0）=(

1

2

)3=

1

8

，
同理可得：P（X=x）=

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=2x）=

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

2

=

3

8

，
P（X=3x）=（

1

2

）³=

1

8

，
所以隨機變量X的分布列為

X	0	x	2x	3x
P	0.125	0.375	0.375	0.125

所以顧客在3次抽獎中所獲得的獎金的總額的期望值為E（X）=0×0.125+x×0.375+2x×0.375+3x×0.125=1.5x，
要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金的期望值不大于商場的提價金額，因此應有1.5x≤180，解得x≤120，
所以商場 應該將中獎金額最高定為120元，才能使促銷方案對自己有利．

點評：本題考查了隨機變量的概率求法以及期望值的求法，體現(xiàn)了利用概率知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．