Question

已知函數(shù)f（x）=x-（1+a）lnx在x=1時，存在極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明：當x＞1時，＜lnx．

Answer 1

解：（I）對函數(shù)求導數(shù)，得f'（x）=1-
∵在x=1時，函數(shù)存在極值．
∴f'（1）=1-=-a=0，可得a=0；
（II）當x＞1時，，＜lnx等價于（x+1）lnx-2x+2＞0…（*）
設F（x）=（x+1）lnx-2x+2，得F'（x）=+lnx-1
再設G（x）=+lnx-1，得G'（x）=-+=
∵x＞1，∴G'（x）=＞0，得G（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)
因此G（x）＞G（1）=0，即F'（x）＞0區(qū)間（1，+∞）上恒成立
∴F（x）=（x+1）lnx-2x+2是（1，+∞）上的增函數(shù)，得F（x）＞F（1）=0
因此，不等式（*）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即當x＞1時，＜lnx恒成立．
分析：（I）對函數(shù)求導數(shù)，得f'（x）=1-，根據(jù)函數(shù)在極值點處導數(shù)值為零列式，解之得a=0；
（II）原不等式等價于（x+1）lnx-2x+2＞0．因此構造函數(shù)F（x）=（x+1）lnx-2x+2，通過研究F'（x）的單調(diào)性，得到F'（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，從而得到F'（x）＞F'（1）=0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，得F（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，得F（x）＞F（1）=0，從而證出原不等式成立．
點評：本題給出含有對數(shù)的函數(shù)，在已知極值的情況下求參數(shù)a的值，并證明一個恒成立的不等式，著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立的證明等知識，屬于中檔題．