【題目】如圖，在正三棱柱
（側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，
是棱
上一點．
（1）若
分別是
的中點，求證：
平面
；
（2）若
是
上靠近點
的一個三等分點，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）見解析；（2）
．
【解析】
試題分析：（1）連結(jié)
交
于點
，連結(jié)
，易知
是的中點，然后利用中位線定理可使問題得證；（2）以
為原點建立空間直角坐標系，然后求出相應(yīng)點的坐標與向量，由此求得平面
與平面
的法向量，從而利用空間夾角公式求解．
試題解析：（1）連結(jié)交于點，連結(jié)，易知是的中點，
因為
分別是
的中點，所以
，且
，
所以四邊形
是平行四邊形，所以
．
因為
平面
平面
，
所以
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則點
，設(shè)平面的一個法向量為
．
則由
得
，
令
，得
，
易知平面的一個法向量為
，設(shè)二面角
的大小為
，則
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（I）求證：
在區(qū)間
上單調(diào)遞增；
（II）若
，函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值為
，求的試題分析式.并判斷是否有最大值和最小值，請說明理由（參考數(shù)據(jù)：
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
.
（1）若不等式
的解集是
，求不等式
的解集；
（2）當
時，對任意的
都有
成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校高三文科
名學(xué)生參加了
月份的模擬考試，學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生的數(shù)學(xué)、語文情況，利用隨機數(shù)表法從中抽取
名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計分析，抽出的名學(xué)生的數(shù)學(xué)、語文成績?nèi)缦卤?
（1）將學(xué)生編號為:
, 若從第
行第列的數(shù)開始右讀，請你依次寫出最先抽出的 個人的編號(下面是摘自隨機用表的第四行至第七行)
（2）若數(shù)學(xué)優(yōu)秀率為
，求
的值；
（3）在語文成績?yōu)榱嫉膶W(xué)生中，已知
，求數(shù)學(xué)成績“優(yōu)”比“良”的人數(shù)少的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某城市有一直角梯形綠地
，其中
，
km，
km．現(xiàn)過邊界
上的點
處鋪設(shè)一條直的灌溉水管
，將綠地分成面積相等的兩部分．
（1）如圖①，若為的中點，
在邊界
上，求灌溉水管的長度；
（2）如圖②，若在邊界
上，求灌溉水管的最短長度．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若函數(shù)
在
時取得極值，求實數(shù)
的值；
（2）若
對任意
恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
，直線
.
（1）若直線
與圓
交于不同的兩點
，且
，求
的值；
（2）若
，
是直線上的動點，過作圓的兩條切線
，
，切點分別為
，
，求證：直線
過定點，并求出該定點的坐標.
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