Question

9．在直三棱錐P-ABC中，側面PAB與底面ABC垂直，且PD垂直底面，PD=BD，△ACB是直角三角形，AD=$\frac{1}{3}$DB；BC=$\sqrt{3}$AC．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出PD⊥平面ABC，且D∈AB，CD⊥PD，CD⊥AB，從而CD⊥平面PAB，由此能證明PA⊥CD．
（2）以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的余弦值．

解答 證明：（1）∵三棱錐P-ABC中，側面PAB與底面ABC垂直，且PD垂直底面，
側面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PD⊥平面ABC，且D∈AB，
∵CD?平面ABC，∴CD⊥PD，
∵PD=BD，△ACB是直角三角形，AD=$\frac{1}{3}$DB；BC=$\sqrt{3}$AC，
∴設PD=BD=3，得AD=1，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，CD=$\sqrt{3}$，
∴CD⊥AB，又PD∩AB=D，∴CD⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴PA⊥CD．
解：（2）以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，
P（0，0，3），C（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，3，0），
$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，0，-3$），$\overrightarrow{PB}$=（0，3，-3），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=3y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
平面PBA的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設二面角C-PB-A的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴二面角C-PB-A的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．