Question

20．已知$\overrightarrow{a}$=（3，0），$\overrightarrow$=（-5，5），求：
（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
（2）（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）；
（3）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（4）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與λ$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的角為鈍角，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可；
（2）先求向量$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$的坐標(biāo)，然后進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可；
（3）根據(jù)向量夾角余弦的坐標(biāo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可；
（4）先寫(xiě)出向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$和$λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)，設(shè)這兩向量夾角為θ，根據(jù)cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}＜0$即可求出λ的取值范圍．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-15$；
（2）$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（11，-5），\overrightarrow{a}+3\overrightarrow=（-12，15）$；
∴$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow）=-11×12-5×15=-207$；
（3）$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-15}{3×5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為135°；
（4）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（-2，5）$，$λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}=（-5λ-3，5λ）$；
∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}$的夾角為鈍角，并設(shè)該夾角為θ，則：
cosθ=$\frac{35λ+6}{\sqrt{29}•\sqrt{（-5λ-3）^{2}+25{λ}^{2}}}＜0$；
∴35λ+6＜0；
∴$λ＜-\frac{6}{35}$；
∴λ的取值范圍為（-∞，-$\frac{6}{35}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量坐標(biāo)的加法、減法，與數(shù)乘運(yùn)算，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，向量夾角的概念．