Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=2x，雙曲線的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P為雙曲線的右支上的一點，且滿足∠F₁PF₂=60°，S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\sqrt{3}$，則雙曲線的方程為（　　）

• A． 4x²-y²=1
• B． 2x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． 3x²-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1
• D． 5x²-$\frac{5{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，可得b=2a，利用雙曲線的定義，結合余弦定理和三角形的面積公式可得b=1，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由一條漸近線方程為y=2x，可得b=2a，
由雙曲線定義有|PF₁|-|PF₂|=2a，
兩邊平方得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=4a²-------①
由余弦定理，有|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，
即為|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|•|PF₂|=4c²----------②
由①②可得|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²=4b²，
則S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin60°=$\frac{1}{2}$•4b²•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$，
解得b=1，a=$\frac{1}{2}$，
即有雙曲線的方程為4x²-y²=1．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用雙曲線定義和余弦定理及三角形的面積公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．